继上一次关于支付网络中路由问题的全面研究之后，热爱研究的 Nervos 小伙伴 Shor 对通道网络中的再平衡（Rebalancing）算法又做了详细的研究。
本文中，我们会介绍通道网络（Channel Network，CN）中的 Rebalance 问题。首先我们将介绍问题的定义和现有的解决算法。之后，我们会针对这一问题，介绍必要的图论基础和建模方法。最后，我们提供一种算法加速思路。（本文默认读者具备对于通道网络的常识。）
支付网络中的 Rebalance 问题简介我们把一个支付网络看作一个无向图，每个图中的节点代表一个 PID，每条边代表一个支付通道，其中每条边在两端节点各有一个存量。注意：我们默认每个（双向）支付通道内部总存量守恒，即由 A，B 组成的通道中，如果 A 有余额 50，B 有余额 80，B 在向 A 支付 10 元后，A 有余额 60，B 有余额 70。
有时，因为网络拓扑结构等原因，一个支付通道的一个方向总比另一个方向「更受欢迎」，在此情况下，各个通道的有限总存量都被「堆积」到一侧，或者说「受欢迎方向」的流量就此耗尽了。因此，支付网络会频繁出现通道流量耗尽，不得不再次「上链」打开新通道的情况。再平衡（rebalancing）技术通过以下方式试图缓解这一问题。
过去24小时比特币闪电网络新通道数量增加2932个，涨幅达到73200%:金色财经报道，据1ml最新数据显示，比特币闪电网络新通道数量出现激增，过去24小时增加了2932个，涨幅达到73200%，当前通道总数量为82912个，节点数量为17186个。此外，当前比特币闪电网络容量为4975.87 BTC，约合96,227,573.36美元。[2022/10/19 17:31:40]
例如下图中, 我们考虑一个由四条边构成的回路，他们主流方向的 10 单位余量都已经耗尽。
其中每个箭头
表示一个连接了 A 与 B 的无向通道，其中 A 方存量是 a，B 方存量是 b。值得注意的是，箭头方向代表了主流方向，因而我们画成了一个有向图，不过最新基于 RbR 的支付通道都是双向的。Revive 通过一个来自全局 leader 的协调（本文中，我们不予考虑这个 leader 是如何实现的），完成一个 rebalance 工作。例如，可以协调 B 向 A 转账 5 个单位，协调 A 向 C 转账 5 个单位，协调 C 向 D 转账 5 个单位，协调 D 向 B 转账 5 个单位，使得全图结构如下图所示。其本质上是找到一个「回路」，并在这个回路上让所有通道一起逆着主流方向回流、抵回一些流量。
MXC抹茶SpaceM第二期额度获取，主流币交易额专场通道将于20时开启:官方消息，MXC抹茶SpaceM第二期额度获取，主流币交易额专场通道将于20时开启，5月1日20时至5月5日20时，用户在BTC、ETH、EOS、BCH、LTC、TRX、XRP、BSV、ETC、DASH现货USDT交易对交易额满5000 USDT以上，亦可获得SpaceM第二期抽签额度，每签25000枚JST。5月5日16:00至20:00，SpaceM第二期将开启抽签登记，用户可在网站首页上方“SpaceM”处，或移动端首页中间位置“更多活动”处参与。5月6日12:00至5月7日20:00，JST将上线PUSH交易区，5月7日22:00，JST将正式上线二级市场，开通JST/USDT交易对。JST 是植根于波场网络上的一个稳定币项目，其目标是为全球用户提供一个公平、去中心化的金融平台。[2020/5/1]
闪电网络通道数量为35373个:金色财经报道，据1ML数据显示，当前比特币闪电网络节点数为11624个，过去30天内增加0.90%；通道数量为35373个，过去30天内下降1.9%；网络容量达到867.43个BTC，过去30天内下降2%。[2020/3/16]
当我们提及 Rebalance 时，到底在试图解决哪些问题？笔者认为，关键需要解决两个问题：
第一个问题是已知全图求调度方案的问题（将在之后着重介绍）。
第二个问题是协议问题：有谁来实现上述的运算过程？如果是以个别实体节点（leader）完成，如何让他们即时收取到一部分图的实时信息并作出 rebalance 决策？如何规避他们作恶？如果是以一种去中心化的方式实现，又如何使信息收集、运算和实施三个环节成为可能？如何让网络节点参与并遵循我们想要设定的规则？
本文中，我们先抛开第二个问题，专注于第一个问题。
支付网络中现有的 rebalancing 问题可以被这样抽象刻画：
分析 | BTC贴近中期下降通道上沿 突破或将开启多头趋势:分析师Potter表示：昨天已提示BTC若强势站上前高阻力11000美元上方，大概率将会持续上攻试探14000美元拐头向下的大下降通道上边线压制，今日早间BTC放量突破并直线拉升至最高接近11700美元在回落至目前11600美元附近，近期反弹比较强势，昨天也提到BTC最近一段时间4小时一直沿图中红色上行趋势线震荡上行，昨天币价逐步下探贴近趋势线支撑，4小时MACD高位死叉，有跌破加大回调的风险，不过随后再次被放量拉起，MACD指标也从死叉转为金叉向上，中期有逐步走强的趋势，上方强压为下降通道上边线压制，一旦放量突破站稳，将会打破6月下旬至今的中期下行趋势，那么前期趋势多头或将重新启动，后面BTC大概率将会继续向上试探19年前高，后续可沿5日线继续持币即可，阻力11800美元，支撑11300美元。[2019/8/5]
比特币对美元价格突破下降通道压力线:比特币对美元价格本周一突破了持续两周的下降通道压力线，短线上方阻力8600，9860。上一次突破长于2周下降通道的时点是在2月13日。[2018/3/19]
给定一个支付网络，寻找足够多的回路，最大化可以调整的流量。无疑这是个线性规划问题。
现有的思路（即 Revive 工作的思路）是直接解这一个线性规划问题。但是，直接求解这个线性规划问题的代价是非常昂贵的（对于当前支付网络规模而言尚可，但对于一个具有成百万上亿节点的未来假想支付网络不可行）。最新的线性规划算法理论复杂度为 O(M^w)，其中 M 为变量和约束条件个数，w 是一个略小于 3 的常数。对于当前具有万级别节点的支付网络而言这个复杂度可以接受，不过我们认为这个复杂度对于未来具有百万上亿级别节点的支付网络来说，高了一些。但也没高太多！倘若能把复杂度稍微优化下去一些，就可以接受了。
接下来，我们将给出我们的解决思路。不过在此之前，我们先介绍一些必要的基础知识。
需要的预备知识图论基础（强连通分量）
对于一个有向图，一个强连通分量指一个任意两点之间可以互相由图上有向边访达的子图。一个极大强连通分量是一个增加任何一个其它节点后就不具备强连通分量性质的子图。例如上图中，我们可以用灰色区域勾勒出它的四个极大强连通分量。
我们可以观察到以下方面：
极大强连通分量对任何一个有向图的所有节点完成了一个 partition。
任何一个回路只会存在在同一个极大强连通分量内。
存在一个极高效的 O(N) 算法求出任一有向图的所有极大强连通分量（具体算法本文中不赘述）。
其中 N 是全网节点数量。
将每个极大强连通分量看作一个整体，用边连接所有有访达关系的分量并缩点后，我们得到了一个有向无环图。
具体优化办法接下来，我们介绍具体算法。
首先，我们对原支付网络图做一个简化变幻，将每一个双向通道变换为从存量多的一方指向存量少的一方的有向边，边的容量是两端存量差的一半。例如下图中，我们将上图变换为下图。
于是，我们将寻找回路问题转化成了寻找有向图环路的问题。有向图的每一条边代表了一个为了让原图的对应通道更加平衡需要回流流量的一个「势能」。每一个环路可以被看作一个回流方案。在进行强连通分量缩点后，我们只需要通过现有线性规划解每一个极大强连通分量内部的 rebalance 问题。
其解决方案便已明朗：只需要求解出这个有向图的所有极大强连通分量，并且在每一个极大强连通分量中通过常规的线性规划，求得一个最优的调度方案。因为我们认为每个回路并不会跨两个不同的极大强连通分量，所以我们认为这个方法求出的就是全局的最优调度方案。
这里其实有个小问题：这真的是个等价转换吗？实事求是地说并不是（虽然乍看是的）。有可能会出现最优全局调度方案中有回路横跨两个极大强连通分量的情况，因为有可能会出现「需要为了多数人苦一苦少数人」（「需要让少数边更加不平衡来让更多边变得更平衡」）能得到更优解的可能性。不过笔者暂时认为这种偏差是值得的。况且，涉及到现实落地，兴许那些少数人并不会接受这样的调度。
细心的读者们应该发现了本文中的两个没有解释清楚的问题：
这个问题，本质上在问未来的大规模支付网络会有多少个极大强连通分量，分量越多，优化效果就越明显。本质上这个问题是未来大规模支付网络的拓扑结构是怎么样的。可以预期的是，如果绝大多数群众节点的度数只有 4 度左右，极大强连通分量的期望数量是关于网络节点数量以一种低于线性的速度增长的。
其实，这两个问题本质上都在问：未来的大规模通道网络的拓扑结构究竟是怎么样的？
笔者认为，这个问题不但笔者回答不了，恐怕也没有人能准确回答的了。这一点笔者已经在之前的文章「一份关于支付网络中路由问题的全面研究」中给出了解释。
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