Ed25519 是一个基于椭圆曲线的数字签名算法，它高效，安全且应用广泛。TLS 1.3, SSH, Tor, ZCash, WhatsApp 和 Signal 中都使用了它。本文主要讲解以下几点：
1. 介绍一点群论知识，目的是让大家对 Ed25519 和其可延展性问题的原理有一种直觉。若想深入理解，还需参考其他资料；
2. 针对 rust 库 ed25519-dalek 的 1.0.1 版本讲解 ed25519 的实现；
3. 针对该库的延展性问题做出解释。
数学要点回顾
群的定义与性质
群论是抽象代数研究的内容，但抽象代数的一些思想是程序员非常熟悉的。面向对象中的继承就是一个很好的例子，我们都知道子类继承了父类后，就能使用父类中定义的方法。可以将抽象代数理解为对一个抽象的数据结构定义了一些性质，由这些性质推导出来的定理对于所有的子类都成立。
慢雾：针对传言火币信息泄漏事件不涉及用户账户与资金安全 请保持客观冷静对待:据官方消息，慢雾注意到近日有白帽子公开了此前一个火币已经处理完毕的过往漏洞信息。经慢雾与火币官方确认，火币本着负责任披露信息的策略，对本次事件做以下说明：本次事件是小范围内（4000人）的用户联络信息泄露，信息种类不涉及敏感信息，不涉及用户账户与资金安全。事件发生于2021年6月22日日本站测试环境S3桶相关人员不规范操作导致，相关用户信息于2022年10月8日已经完全隔离，日本站与火币全球站无关。本次事件由白帽团队发现后，火币安全团队2023年6月21日（10天前）已第一时间进行处理，立即关闭相关文件访问权限，当前漏洞已修复，所有相关用户信息已经删除。感谢白帽团队对于火币安全做出的贡献。最后提醒请大家冷静对待，切勿传谣。[2023/7/1 22:12:01]
沿用刚刚的比喻，来看看群（group）这个数据结构是如何定义的。
慢雾：GenomesDAO被黑简析:据慢雾区hacktivist消息，MATIC上/img/202364120436/0.jpg">
慢雾：ERC721R示例合约存在缺陷，本质上是由于owner权限过大问题:4月12日消息，据/img/202364120436/1.jpg">
举几个例子：
拉格朗日定理
现在介绍一个非常有意思的定理，这个定理的推导在文末引用的视频中。
“群的阶能被子群的阶整除。”
为什么说这个定理有意思呢，不仅仅因为它的证明过程串起了刚刚介绍的许多知识，还因为下面的结论：
Ed25519 的实现
现在我们来讲 Ed25519，它是 EdDSA 算法的其中一种。EdDSA 有 11 个参数（https://datatracker.ietf.org/doc/html/rfc8032#autoid-3），这些参数的具体选择对于算法的安全和性能有很大的影响。Ed25519 的具体选择请参看链接（https://datatracker.ietf.org/doc/html/rfc8032#autoid-9）。
另外，值得一提的是这套算法用到了一个叫 Curve25519（https://datatracker.ietf.org/doc/html/rfc7748#autoid-5）的椭圆曲线。对于椭圆曲线，我们只需知道，它上边有很多很多点，这些点相加能得到新的点，新的点还是在曲线上。这些点和这个加法能形成一个群。注意这里的椭圆曲线加法（https://www.wikiwand.com/en/Elliptic_curve_point_multiplication）是有特殊定义的。
我们约定如下记法：
这是个交互式的算法，但是没关系，有一个技巧叫做 the Fiat – Shamir heuristic（https://link.springer.com/chapter/10.1007%2F3-540-47721-7_12），它可以把任意的交互式算法转化成非交互式的算法。最终我们会用非交互式算法。
数字签名算法都会给我们如下 API：
密码学算法的实现和使用都有非常多要注意的地方。当我们说一个数字签名算法是安全的，一般指的是即使在攻击者能够获得任意消息的签名（Chosen Message Attack）的情况下，攻击者仍然不能伪造签名。Ed25519 满足这个性质，但不代表 Ed25519 是绝对安全的。在原始的论文中也提到，可延展性问题是可以接受的，且原始的算法就有这个问题。
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