最近有空看了看Plookup的论文。针对对电路描述不友好的操作（比如bit操作），Plookup给出了新的思路和证明方式。给定某个操作的真值表示（lookup table），证明某个操作的输入/输出是在真值表中。这种方式，相对之前的bit计算约束方式，降低约束的个数，提高了电路效率。
Plookup的论文下载地址如下：
https://eprint.iacr.org/2020/315.pdf
基本思想
Plookup尝试解决的问题是，给定两个集合，证明某个集合的元素在另外一个集合中。给定两个集合t和f，s是f排序后的结果。如果t中的元素最少在f中出现过一次。判别f中的元素是否包括在t中，只需要比较元素差的集合：
GSR首席执行官：投资零知识证明、去中心化期权交易、借贷协议和去中心化保险感到兴奋:金色财经报道，GSR首席执行官Jakob Palmstierna表示，如果你真的相信这个领域，现在是部署资本的好机会。Palmstierna表示对投资零知识证明、去中心化期权交易、借贷协议和去中心化保险感到特别兴奋。
Palmstierna承认加密投资世界面临着充满挑战的时期。一方面，利率上升使美国国债等安全资产的回报更具吸引力，从而减少了投资者可用于加密货币和风险投资等另类投资的现金。另一方面，资本成本更高，LP资本已经更难获得了，筹集资金的环境要艰难得多[2022/12/2 21:18:10]
以太坊生态零知识协议Semaphore发布V2版本:7月7日消息，以太坊生态针对开发者的零知识协议 Semaphore 推出 V2 版本，更新内容包括不再需要拥有 EdDSA 私钥，从而实现更简单的电路（circuit）和更高效的零知识证明生成；用于身份承诺和 Merkle 树的哈希函数从 MiMC 迁移到 Poseidon，将证明时间减半并提高了 Gas 效率；合约模块化、三个新的 JavaScript 库等。
Semaphore 最早由以太坊社区成员 Kobi Gurkan、Koh Wei Jie 和 Barry Whitehat 提出，在 2019 年发布 V1 版，可以让以太坊用户可以证明他们的群组成员身份，并在不透露原始身份的情况下发送诸如投票或支持的信号。Semaphore 不是面向用户的应用程序，旨在为以太坊开发人员提供强大而简单的工具，以使用私有凭据构建 DApp。[2022/7/7 1:57:35]
举个例子，t是{1，4，8}的集合，元素的差异集合为{3, 4}，分别是4-1，8-4。如果s只有t中的元素组成，并且每个元素最少出现一次，例如{1，1，4，8，8，8}，元素的差异集合也为{3，4}。如果s中的元素并不完全是t中的元素，那即使在元素差异集合一样的情况下，也不能说明s中元素在t的集合中。例如s为{1，5，5，5，8，8}，元素的差异集合也为{3，4}，分别是8-5，5-1。
Polygon 推出基于STARK零知识证明的扩容方案 Miden，采用Facebook开源技术且兼容EVM:11月16日消息，Polygon宣布推出基于零知识的、与 EVM 兼容的扩容解决方案Miden，同时也将开源其核心组件的早期原型版本Polygon Miden 虚拟机 (VM) 。Polygon Miden 是一个基于 STARK 的 ZK Rollup，Polygon Miden VM 是完全开源的基于 STARK 的虚拟机，它的作用是验证程序执行并为DApp 部署提供增强的尽职调查。Miden VM 通过利用Facebook的Novi开发的STARK证明器/验证器Winterfell 对基于Rust语言编写的零知识虚拟机 Distaff VM进行了扩展。Distaff VM和Winterfell的核心开发人员Bobbin Threadbare将加入 Polygon 作为 Miden Lead，致力于重新整合 Distaff，将 Distaff 和 Winterfell 结合起来，并继续开发 Miden VM 及其周围的生态系统。
除Polygon Miden外，Polygon价值10亿美元的ZK策略资金还孵化Polygon Hermez和Polygon Nightfall。Polygon Hermez是此前收购的Hermez Network，Polygon Nightfall是与安永共同开发构建的以隐私为重点保护的Rollup。[2021/11/17 21:56:06]
论文提出，可以引入一个随机因子，将前后两个元素相加的方法，确定两个集合的依赖关系。
定义多项式
在基本思想的基础上，论文在第三章定义了两个多项式F和G：
如果F和G相互对等，有且如下的条件成立：
f集合属于t
s是(f，t)的并集，并且按照t中的元素排序
如果条件成立，可以推导出两个多项式相等。F多项式可以看成是两部分组成，分别是两个连乘。后面的连乘可以看成是t中的元素连乘。前面的连乘，可以看成是f中元素的连乘。因为f中的元素属于t，则f中的元素的连乘，可以想象成多个相同元素的连乘。反之，因为beta和gamma的随机因子，也能从F和G对等条件推出满足的两个条件。具体的证明过程，可以查看论文的第三章。
在定义多项式的基础上，问题可以转化成两个多项式相等。
Plookup协议
已知f和t，可以排序得到s。因为s由f和t合并而成，s可以由两个函数h1和h2表示。关键在于第4步，定义了Z函数：
Z(g) = 1 - 初始为1
Z(x) 是两种多项式表示的商
Z(g^(n+1)) = 1 - n+1元素的连乘，两种多项式表达式相等
验证者，除了查看Z函数外，额外还要查看h1/h2连续性。
论文进一步将协议推广到更通用的情况，并给出了t中元素是连续情况下的优化协议。感兴趣的小伙伴可以自行查看。
Plookup提出了一种明确输入/输出的情况下，如何证明某个函数的运算正确的协议。输入输出定义成lookup表，计算的输入/结果只要在该lookup表中即表示运算正确。和Plonk采用同样的思路，Plookup定义了问题的多项式表示，证明了Z函数的递归表示和边界。
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