错误学习问题（Learning with Errors，简称LWE）由Regev在2005年提出，该问题已经成为格密码学中广泛使用的密码学基础。LWE问题是一个平均情况下的问题，Regev在论文中将LWE问题量子归约到格上标准困难问题。因此在LWE问题之上建立的所有密码学方案，都能够将其安全建立在格问题的最坏情况下困难性之上。
本文节选自陈智罡博士的博士论文。
1.1.1 LWE问题
LWE问题就是给出一些关于秘密向量s的“近似”随机线性方程，其目标是恢复秘密向量s。例如给出如下一些“近似”随机线性方程：
隐私解决方案Railgun推出DeFi隐私钱包RailWay Wallet:9月16日消息，隐私解决方案 Railgun 宣布推出 DeFi 隐私钱包 RailWay Wallet。据报道，该钱包可保护用户的交易历史，使其交易记录无法被 Etherscan 等工具追踪，从而实现隐私交易。此外，该钱包是首个完全在移动设备上运行的 zkEVM 证明器，兼容 iOS 系统和安卓系统。
此前报道，1 月 27 日，Digital Currency Group（DCG）与 Railgun DAO 达成战略合作。作为合作的一部分，DCG 已经收购并质押了超过 1000 万美元的 Railgun 原生 Token RAIL，并向该项目的 DAO 财库捐赠了超过 700 万美元的 Stablecoin。（CoinDesk）[2022/9/16 7:01:42]
14s1+ 15s2+ 5s3+ 2s4≈8 (mod 17)
NFT衍生工具公司Bliv.Club宣布完成种子轮融资，Polygon联合创始人Sandeep Nailwal等参投:1月11日消息，NFT衍生工具公司Bliv.Club宣布完成种子轮融资，Polygon联合创始人Sandeep Nailwal等参投。
据悉，Bliv.Club旨在通过各种新时代工具减少进入NFT行业的壁垒，并通过衍生品促进NFT生态系统的流动性。Bliv将提供一个衍生品市场，允许普通人以小规模参与NFT市场。（EconomicTimes.IndiaTimes）[2022/1/11 8:41:22]
13s1+ 14s2+ 14s3+ 6s4≈16 (mod 17)
CoolBitX与Crypto.com合作推出CoolWallet Pro硬件钱包:金色财经报道，区块链安全公司CoolBitX宣布与加密货币平台Crypto.com合作，推出特别版CoolWallet Pro硬件钱包。CoolWallet的官方网站已经整合了Crypto.com Pay，为用户以加密货币支付和接收付款提供现金返还和其他奖励。Crypto.com Pay支持超过25种加密货币，包括BTC、ETH、DOGE，支持通过Crypto.com App和其他ERC-20钱包进行CRO支付。（prnewswire）[2021/10/26 20:57:57]
6s1+ 10s2+ 13s3+ 1s4≈3 (mod 17)
日本Globalway将推出时间币 用以个人空闲时间定价交换:4月16日，日本公司Globalway计划将推出一款名为“时间币”（Timecoin）的虚拟货币，其用途是将个人空闲时间定价交换，该公司已决定通过其瑞士子公司向瑞士金融市场监察局提交ICO申请。Globalway此前曾开展过个人空闲时间交换服务，用户可以到平台上贩售自己的30分钟，贩售者不仅可以自订价格，还可以指定要将多少比例的所得捐给公益团体。[2018/4/16]
10s1+ 4s2+ 12s3+ 16s4≈12 (mod 17)
…………
9s1+ 5s2+ 9s3+ 6s4≈9 (mod17)
在上述每个方程中，加入了一个小的错误，该错误在+1和-1之间，目标是恢复向量s。如果上述方程中没有加入错误，则使用高斯消元法就可以在多项式时间内恢复向量s。但是由于加入了错误，使得该问题变得非常的困难。
LWE问题定义 参数n ≥1，模q ≥ 2，是上的一个错误概率分布。是上的一个概率分布，该分布通过如下方式获得：随机均匀选择一个向量a∈，根据分布选择错误向量e∈，输出（a，b=< a , s > +emod q）。LWE问题是对于s∈，给出任意数量的从取出的独立实例，其目的是输出s。
LWE判定问题 上述LWE问题是一个LWE搜索问题，密码学中更感兴趣的是LWE问题的另外一个版本：平均情况下的LWE判定问题。即对于随机均匀选择的s∈，能够以不可忽略的概率区分分布与均匀分布上的实例。判定LWE问题可以归约到搜索LWE问题。
如果在均匀选择秘密向量s的情况下，判定LWE问题可以被解决，则对于所有秘密向量s，判定LWE问题都可以被解决。
LWE问题与BDD问题 上述LWE问题定义中，对于m个从取出的独立实例，可以用随机均匀矩阵A∈和b=AT s+e表出。所以LWE问题可以看成是随机格上的BDD问题。
参数说明 分布是一个标准偏离是的类似高斯分布，其中，通常取为1/poly（n）。模q一般是关于n的多项式。LWE实例的数量并不重要。
LWE问题的困难性 以下三个原因说明LWE问题是困难的。第一，已知最好的求解LWE问题的算法运行时间是指数级的，即使是对量子计算机也没有任何帮助。第二，LWE问题是LPN问题的自然扩展，而LPN问题在学习理论中被广泛研究而且普遍认为是困难的。此外LPN问题可以形式化为随机线性二元码的解码问题，如果LPN问题的求解算法有一点进步，则意味着编码理论的一个突破。第三，也是最重要的，LWE问题被归约到最坏情况下的格上标准困难问题，例如GapSVP和SIVP[11,85]。
Regev在2005年证明了只要，那么在平均情况下解决LWE问题，其困难性至少与使用量子算法近似格上标准困难问题相同，其中近似因子是。随后Peikert在2009年给出了一个相同近似因子的经典约减而非量子约减，但是需要满足q≥2n/2。最近Brakerski等人在2013年给出了在q为多项式的情况下的一个经典LWE问题的约减，但是在维数上有所损失[120]。
在LWE问题中，s可以随机均匀的取自于。这一方面使得的长度可以更短，另外一方面其困难性不变。
假设根据高斯分布选择的错误向量长度的界是B，则有B≤，得到，从而。该式反映了近似因子与q/B的大小有关，而q/B又与全同态加密方案的计算深度有关，所以当维数n和B固定的情况下，模q越大，全同态加密方案的安全性越低，而全同态加密方案的同态计算能力越高。
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