原文作者：FoxTechCEO康水跃，FoxTech首席科学家孟铉济
前言：如果密码学家没有发现张量积和多项式取值之间的联系，那就很难出现多项式承诺协议Brakedown，也就不可能诞生基于Brakedown的Orion、以及FOAKS这类全新的快速算法。
在许多依赖多项式承诺的零知识证明系统当中，使用了不同的承诺协议。根据a16z的JustinThaler在2022年8月文章“MeasuringSNARKperformance:Frontends,backends,andthefuture”的评估，Brakedown虽然有较大的ProofSize，但是无疑是当下最快的多项式承诺协议。
FRI、KZG、Bulletproof是更为常见的多项式承诺协议，但速度是它们的瓶颈。zkSync采用的Plonky、PolygonzkEVM采用的Plonky2、Scroll采用的Ultra-Plonk等算法都是基于KZG的多项式承诺。Prover涉及到大量的FFT计算和MSM运算生成多项式和承诺，这两者都会带来大量的计算负担。虽然MSM有运行多线程加速的潜力，但需要大量内存，即使在高并行下也很慢，而大型FFT则严重依赖算法运行时数据的频繁洗牌，难以通过分布式加速跨计算集群加载。
正是由于有了更为快速的多项式承诺协议Brakedown，才使这类运算的复杂度大幅降低。
FOAKS即FastObjectiveArgumentofKnowledges，是由FoxTech提出的一种基于Brakedown的零知识证明系统框架。FOAKS在Orion的基础上进一步减少FFT运算，目标是最终消除FFT。此外，FOAKS还设计出一种全新的非常精妙的证明递归方式来减少证明大小。FOAKS框架的优势在于在实现线性证明时间的基础上有着较小的证明大小，非常适合应用于zkRollup场景当中。
前中国人民银行副行长朱民：美联储本轮加息应该要结束了:金色财经报道，前中国人民银行副行长、中国国际经济交流中心副理事长、国际货币基金组织（IMF）前副总裁朱民在博鳌亚洲论坛2023年年会“通胀、滞胀与加息：钢丝上的舞蹈”分论坛上表示，美联储在2022年太激进，到了2023年，美联储应该会停止加息。朱民表示，第一，金融稳定性是非常非常重要的，没有空间再加息了，系统性非常的脆弱。第二，增长在放缓，通胀也看到了负面效应，所以美联储现在并没有理由在近期再加息，美联储本轮加息应该要结束了。[2023/3/30 13:35:05]
下文我们将详细介绍FOAKS所使用的多项式承诺协议Brakedown。
在密码学当中，承诺协议由证明者对某一个秘密值进行承诺，生成一个公开的承诺值，这个承诺值具有绑定性和隐藏性，之后提交者需要打开此承诺并将消息发送到验证者，以验证承诺与消息之间的对应关系。这一点，使得承诺协议和哈希函数的作用有许多共通之处，但是承诺协议往往依赖于公钥密码学领域的数学结构。而多项式承诺是一类对于多项式的承诺方案，也就是说被承诺值是多项式。而同时多项式承诺协议当中还包含了在给定的点取值并给出证明的算法，这就使得多项式承诺协议本身成为一类重要的密码学协议，是许多零知识证明系统的核心部分。
而在最新的密码学领域的研究当中，由于发现了张量积和多项式取值之间的联系，所以诞生了一系列与此相关的多项式承诺协议，Brakedown是其中的代表性协议。
在详细介绍Brakedown的协议细节之前，需要先了解一些基础知识。我们需要先了解线性码、抗碰撞哈希函数、默克尔树、张量积的运算以及多项式取值的张量积表示。
首先是线性码。一个消息长度为k，码字长度为n的线性码是一个线性子空间
聚合器1inch集成Verse DEX:金色财经报道，Bitcoin.com宣布，Verse DEX聚合器集成至1inch，将增加Verse DEX池中的交易量。[2023/1/26 11:31:07]
C∈Fn，使得存在一个从消息到码字的单射，称为编码，记作EC：Fk→C。任意的对于码字的线性组合仍然是一个码字。两个码字u，v的距离即他们的汉明距离，记作△(u,v)。
最短距离为d=minu,v△(u,v)。这样的码记作线性码，用d/n表示码的相对距离。
其次是抗碰撞哈希函数与默克尔树。
使用H:{0,1}2λ→{0,1}λ表示一个哈希函数。默克尔树是一种特殊的数据结构，可以实现对于2d个消息的承诺，生成一个哈希值h，在打开任何消息时候需要d+1个哈希值。
默克尔树可以被表示为一个深度为d的二叉树，其中L个消息元素m1,m2,...,ml分别对应树的叶子。树的每一个内部节点都由它的两个子节点进行哈希计算得出。打开消息mi时，需要公开从mi到根节点的路径。
用以下记号来表示：
h←Merkle.Commit(m1,...,ml)
(mi,πi)←Merkle.Open(m,i)
{0,1}←Merkle.Verify(πi,mi,h)
图1：默克尔树
我们还需要了解张量积的运算是怎么做的。数学上，张量是向量和矩阵向高维空间的扩展，是很重要的研究对象，详细的讨论张量超出本文的研究范畴，这里只介绍向量和矩阵的张量积运算。
比尔·盖茨批马斯克凭直觉决策致推特混乱:金色财经报道，前世界首富比尔·盖茨批马斯克让推特加剧数字两极分化。
当地时间12月20日，据英国《金融时报》，微软联合创始人比尔·盖茨表示，自埃隆·马斯克收购以来，Twitter（推特）的决策风格正在加剧数字两极分化。
盖茨指出，推特的混乱局面，不是由一个广泛团体做出的客观决策，而是一系列凭经验、直觉的决策活动导致的。[2022/12/21 21:57:45]
图2：向量和矩阵的张量积运算
紧接着，我们需要知道多项式取值的张量积表示。
当中提到，多项式的取值可以被表示成张量积的形式。在这里我们考虑多线性多项式的承诺。
具体来讲，给定一个多项式，他在向量x0,x1,...,xlogN-1的取值可以写成：
根据多线性的定义，每一个变量的次数是0或1，因此，这里有N个单项式和系数，以及logN个变量。令
，其中i0i1...ilogN-1是i的二进制表示。令w表示多项式系数，
AR初创公司Mirage完成140万美元融资:11月30日消息，结合NFT技术的AR初创公司Mirage宣布完成140万美元Pre-Seed轮融资，Aglaé Ventures和Delphi Digital领投，参投方包括Palm Tree Crew、Cozomode Medici、G Money、Will Price、Rahilla Zafar、Cooper Turley、JonItzler和Chase Chapman等。本轮融资将被用于招聘技术人才以进行进一步开发。[2022/11/30 21:13:16]
同样的，定义
令
。于是有X=r0?r1。
从而，多项式取值可以被表示成张量积的形式：?(x0,x1,...,xlogN-1)=<w,r0?r1>。
最后，我们来看FOAKS、Orion当中使用的Brakedown的过程。
首先，PC.Commit将多项式系数w划分成k×k的矩阵形式，并将其编码，记作C2。之后对于C2的每一列C2进行承诺建立一个默克尔树，然后再对于每一个列形成的默克尔树树根建立另一个默克尔树，作为最终的承诺。
在取值证明的计算中，需要证明两点，一是近似性，二是一致性。近似性保证了承诺的矩阵确实和编码后的一个码字足够接近。一致性保证y=<w,r0?r1>。
XRP前十大巨鲸已控制超70%的Token供应量:9月12日消息，截至9月12日，XRP前10大巨鲸控制的Token数量已经占到总供应量的73%，而前20大巨鲸控制的Token数量占到总供应量的75.35%。在交易平台方面，38.5%的XRP在Binance上，其中一个最富有的XRP地址拥有99,879,936枚XRP。（CoinCarp）[2022/9/12 13:24:44]
近似性检验：近似性检验由两步组成。首先，验证者发送一个随机向量0给证明者，证明者计算Y0与C1的内积，也就是以Y0的分量为系数对C1的行计算线性组合。由于线性码的性质，Cy0是Yy0的码字。之后，证明者证明Cy0确实是从被承诺的码字计算出的。为了证明这一点，验证者随机选取t列，证明者打开对应的列并提供默克尔树证明。验证者检查这些列和Y0的内积和Cy0当中对应位置相等。当中证明如果使用的线性码有常数的相对距离，那么被承诺的矩阵就以压倒性的概率与一个码字接近。
一致性检验：一致性检验和近似性检验的流程完全类似。不同之处在于，不使用随机向量Y0而是直接使用r0来完成线性组合的部分。类似的，c1也是消息y1的一个线性码，并且有
?(x)=<y1,r1>。当中证明，通过一致性检验，如果被承诺的矩阵与一个码字接近，则以压倒性概率成立y=?(x)。
以伪代码形式，我们给出Brakedown协议的流程：
Publicinput：TheevaluationpointX，parsedasatensorproductX=r0?r1;
Privateinput：Thepolynomial?，thecoefficientofisdenotedbyw.
LetCbethe-limearcode，EC：FkFnbetheencodingfunction，N=k×k.IfNisnotaperfectsquare，wecanpadittothenextperfectsquare.Weuseapythonstylenotationmattoselectthei-thcolumnofamatrixmat。
functionPC.Commit(?)：
Parsewasak×kmatrix.TheproverlocallycomputesthetensorcodeencodingC1，C2，C1isak×nmatrix，C2isan×nmatrix.
fori∈do
ComputetheMerkletreerootRoott=Merkle.Commit(C2)
ComputeaMerkletreerootR=Merkle.Commit(),andoutputRasthecommitment.
functionPC.Prover(?,X,R)
TheproverreceivesarandomvectorY0∈Fkfromtheverifier
Proximity
Consistency
ProversendsC1,y1,C0,y0totheverifier.
Verifierrandomlysamplestasanarray?andsendittoprover
foridx∈?do
ProversendsC1andtheMerkletreeproofofRootidxforC2underRtoverifier
functionPC.VERIFY_EVAL(πX,X,y=?(X),R)
Proximity:?idx∈?,CY0==<Y0,C1>andEC(Yy0)==CY0
Consistency:?idx∈?,C1==<Y0,C1>andEC(Y1)==C1
y==<r1,y1>
?idx∈?,EC(C1)isconsistentwithROOTidx,andROOTidx’sMerkletreeproofisvalid.
Outputacceptifallconditionsaboveholds.Otherwiseoutputreject.
结语：多项式承诺是一类非常重要的密码学协议，被广泛的应用在许多密码学系统当中，尤其是零知识证明系统。本文详细介绍了多项式承诺Brakedown协议以及和其相关的数学知识，作为FOAKS很重要的底层组件，Brakedown对FOAKS的实例化性能的提升起到了重要作用。
参考文献
:AlexanderGolovnev,JonathanLee,SrinathSetty,JustinThaler,andRiadS.Wahby.Brakedown:Linear-timeandpost-quantumsnarksforr1cs.CryptologyePrintArchive.https://ia.cr/2021/1043.
:XieT,ZhangY,SongD.Orion:Zeroknowledgeproofwithlinearprovertime//AdvancesinCryptology–CRYPTO2022:42ndAnnualInternationalCryptologyConference,CRYPTO2022,SantaBarbara,CA,USA,August15–18,2022,Proceedings,PartIV.Cham:SpringerNatureSwitzerland,2022:299-328.https://eprint.iacr.org/2022/1010
:Bootle,Jonathan,AlessandroChiesa,andJensGroth."Linear-timeargumentswithsublinearverificationfromtensorcodes."TheoryofCryptography:18thInternationalConference,TCC2020,Durham,NC,USA,November16–19,2020,Proceedings,PartII18.SpringerInternationalPublishing,2020.
JustinThalerfromA16zcrypto,MeasuringSNARKperformance:Frontends,backends,andthefuturehttps://a16zcrypto.com/measuring-snark-performance-frontends-backends-and-the-future/
张量积的介绍：https://blog.csdn.net/chenxy_bwave/article/details/127288938
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