随着比特币、区块链、智能合约等概念的铺开，越来越多的人关注到Web3领域的蓬勃发展。而在技术方面，也有许多开发者关注到支撑区块链底层的密码学协议。在这之中，零知识证明协议以其独特的特性大放异彩，无论是在实现隐私保护，还是在实现Layer2性能扩容的zkrollup项目当中，都发挥着关键的作用。零知识证明是一类算法的统称，到目前为止，研究者发明了包括Plonk、Groth16、zkStark、Virgo、Orion、Foaks等等在内的许多种协议。不同的协议适用于不同的计算场景，复杂度和效率也各有不同，例如Foaks就以线性的证明时间和较小的证明长度为优势。上述的每一种协议，协议目标是相同的，就是证明者希望在不向验证者透露任何关于自己的秘密的信息的情况下让验证者相信自己拥有秘密。sum-checkprotocol是很多协议的组件，最早在当中被提出。很多计算问题可以被转化成sum-checkprotocol能处理的问题，从而生成证明。包括Foaks在内的不少协议的底层协议都基于sum-checkprotocol，在其上进行调整来实现。在FoxTech所采用的Foaks证明系统当中，该协议同样发挥着重要的作用。具体来讲，为了实现对于某一操作码opcode正确性的证明，需要先将其转化为算术电路，之后转换为矩阵，最终生成多项式，对多项式应用证明系统当中的算法，在最后压缩证明的部分当中，同样将证明者和验证者之间的交互过程转换为计算某个和式，也就是sum-checkprotocol的过程。
Bitfinex：市场可能仍处于牛市的早期阶段:金色财经报道，Bitfinex Alpha最新的报告称，市场可能仍处于牛市的早期阶段。报告称，尽管市场低迷，但比特币当前的市场价格仍高于其实际价格 20,361 美元。Bitfinex 解释说，这本质上意味着市场参与者处于盈利状态，他们可能会持有自己的头寸，因为总体而言，长期持有者自年初以来一直处于盈利状态。
当比特币在长期低于已实现价格后重新回到已实现价格之上时，这通常标志着新牛市的开始。该报告补充说，比特币的价格反弹与牛市启动之间的这种相关性是其历史表现中的“值得注意的趋势”。
随着 11 月份 30 天简单移动平均线 (SMA) 超过 365 天 SMA，可以观察到新的比特币钱包的创建。钱包创建量的增加通常与牛市开始同时或先于牛市开始，这表明加密货币很快可能出现积极的价格走势。[2023/8/2 16:13:33]
Optimism将于7月13日升级OP Mainnet上排序器:7月11日消息，Optimism宣布将于7月13日04:00升级OP Mainnet上排序器的op-geth版本，以将平均交易包含延迟（transaction inclusion latency）从2-4秒减少至0-2秒，预期OP Mainnet将停机5分钟。[2023/7/11 10:48:22]
图1:Sum-checkProtocol所在环节Sum-checkProtocol
1.协议目标
协议的目标非常简单且容易理解。假设我们有一个定义在有限域F上的v元多项式，记作g。协议的目标是计算和式：
和在zkRollup当中考虑的“外包计算”的场景类似，在应用当中，上述式子的计算量会非常大，我们希望将这个式子的计算交给证明者，之后证明者向验证者证明自己的计算结果是正确的。2.协议假设
加密货币风投公司Paradigm将关注范围扩大到AI领域:金色财经报道，两位知情人士表示，加密货币风险投资公司Paradigm强调对包括AI在内的前沿技术的关注正在超越区块链。该公司现在称自己为研究驱动的技术投资公司，而不是专门投资于颠覆性的加密货币/Web3公司。根据Internet Archive 运营的Wayback Machine ，该修订版似乎已于 5 月 3 日左右上线。
“我们相信加密货币将定义未来几十年\"也被从主页上删除，现在没有提到web3或区块链。熟悉该战略的人士表示，该公司没有改变其使命，并继续专注于加密货币和 web3，更新后的网站文案旨在强调其技术研究，并指出 Paradigm 曾支持在其核心战略中探索新技术的公司，例如AI Arena。[2023/5/26 10:40:45]
首先，需要明确在这个协议当中验证者的能力。我们假设验证者拥有可以计算函数g的预言。也就是说，对于验证者而言，确定某个输入r1,...,rv之后，计算g(r1,...,rv)是容易的。但是计算完整的结果H是困难的。事实上，在现实应用当中，预言不会存在，但是可以通过某种手段实现，例如我们可以让证明者帮助验证者计算这个值，并用更多的技巧附加正确性的证明。第二点，关于协议的目标，事实上sum-check协议可以对于任意的集合B计算bBmg(b)，但是不失一般性的，我们假设B={0,1}。3.协议过程
DeFi交易平台Aurox以7500万美元估值寻求100万美元融资:金色财经报道，据Aurox在代币化证券场所tZERO上的筹款仪表板，DeFi交易平台Aurox以7500万美元寻求100万美元融资，面向散户投资者的最低投资仅为252美元，结束这一轮融资的目标日期是3月15日。根据提交给美国证券交易委员会并经CoinDesk审查的文件，Aurox的每股价格定为6美元，并发售169,000股。
该公司在其筹款网站上表示，Aurox于2020年推出了一个名为AuroxTerminal的一体化交易平台，该平台整合了50多家交易所，目前拥有70,000名用户和10亿美元的交易量。它还拥有一个加密钱包产品，并制作了自己的DeFi智能合约协议和原生生态系统令牌URUS。[2023/3/1 12:35:44]
协议一共包含v轮。在每一轮当中会处理g中的一个变量。第1轮：
欧易OKX正式上线屯币宝:据欧易OKX官方消息，欧易OKX正式上线屯币宝，Web及APP端均可使用。屯币宝策略是一种在用户选定的币种组合中做智能动态调仓的自动化策略。
该策略优势在于可以利用不同币种之间的汇率波动来赚币和屯币，可实现风险隔离与自动平衡。目前已支持全站所有现货币种，每个投资组合最多可选10个币种。[2022/7/21 2:27:34]
如果证明者是诚实的，应当成立H=g1(0)+g1(1)。验证者验证，若通过则选择随机数r1发送给证明者。注意到，根据协议的假设，证明者可以完成上述验证。我们用degi(p)来表示多元多项式p当中，第i个变量的次数。g1(X1)的次数为deg1(g)，所以我们知道g1可以用deg1(g)+1个域元素表出。第j(j>1)轮：
如果证明者是诚实的，应当成立gj-1(rj-1)=gj(0)+gj(1)。验证者验证，若通过则选择随机数rj发送给证明者。第v轮：
图2:TheFoaksSum-checkprotocolCompleteness:若证明者拥有有效的Witness，则验证者会以不低于的概率接受证明；Soundness：若证明者没有有效的Witness，则验证者会以低于negl的概率拒绝证明Succinctness:Proof的Size必须远小于Witness的Size；Zero-knowledge：验证者无法通过证明的交互过程获取任何关于witness的信息#其中negl为任意可忽略的函数4.协议复杂度
通过第3部分的论证，我们可以看到，协议一共由v轮组成，每一轮当中证明者需要给验证者发送一个degi(g)次的多项式，也就是deg1(g)+1个域元素，所以总体的通信复杂度是O(i=1vdegi(g))。关于计算复杂度方面，在每一轮验证都通过的情况下，证明者最多需要进行2v次对g取值的运算；验证者做的运算是对每一轮的gj进行取值以及在最后一轮对g取值。下表具体展示了复杂度的结果，其中T代表访问一次预言也就是对g进行一次求值所需要的开销。
图3:Sum-check协议的复杂度Sum-checkProtocol的应用
在许多的零知识证明算法当中，sum-checkprotocol都在发挥着重要的作用。许多问题的证明，都依赖于将原始的问题转化为sum-check的形式，再完成后续的步骤。例如，可以利用sum-checkprotocol来计算一个无向图中的三角形数量。首先，我们使用邻接矩阵A表示无向图G，设E为其边集合，则Ai,j=1(i,j)E，也就是说若点i,j之间存在一条边则Ai,j=1否则为0。对于点i,j,k，三点构成三角形的条件是Ai,j=1,Ai,k=1,Aj,k=1。接下来记矩阵A为一映射表，表示的映射为f:{0,1}logn{0,1}logn{0,1}，其中logn为i，j的二进制长度。所以对于点i,j,k，三点构成三角形的条件进一步可以表示为f(i,j)f(i,k)f(j,k)=1。
此外，在许多证明系统当中，都采用了sum-checkprotocol作为底层逻辑进行构造。下图展示了根据在sum-check基础上进行不同改造得到的不同证明系统。
图4:Sum-checkprotocol在四类证明系统当中的应用
图5:Sum-checkprotocol在简洁证明方面的具体应用结语
本文梳理了sum-check协议的具体流程，以及讨论了协议的复杂度，同时展示了其在许多证明系统当中的应用。在web3领域不断拓展的当下，密码学作为区块链技术的底层构件，其作用显得越来越重要。随着zkrollup、隐私保护等等依赖零知识证明的应用和项目逐渐诞生，sum-check协议，作为诸多证明系统的重要组件，也正在被学界和产业界同时给予越来越多的关注。参考文献
CarstenLund,LanceFortnow,HowardKarloff,andNoamNisan.Algebraicmethodsforinteractiveproofsystems.J.ACM,39:859–868,October1992.https://people.cs.georgetown.edu/jthaler/sumcheck.pdfhttps://zkproof.org/2020/03/16/sum-checkprotocol/https://eprint.iacr.org/2021/333.pdf介绍sum-check的中文博客https://blog.csdn.net/mutourend/article/details/111610754
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