撰文：FoxTechCTO林彦熹，FoxTech首席科学家孟铉济
前言：
在zkRollup以及zkEVM赛道所遇到的几乎所有难题，其本质都是算法问题。ZKP硬件加速之所以屡屡被提及，主要原因是当下算法普遍较慢。为了避免落入“算法不够，硬件来凑”的尴尬境地，我们应该从本质算法上解决问题。设计出一种精妙绝伦的递证明方案是解决这个问题的关键。
随着智能合约的不断发展，越来越多的web3应用逐步问世，以太坊等传统Layer1交易量迅速攀升并随时可能发生拥堵。如何在保证能获取Layer1提供的安全性的同时获得更高的效率成为了亟需解决的问题。
对于以太坊而言，zkRollup使用零知识证明算法作为底层构件，将原本需要在Layer1上执行的高昂的计算搬到链下，并向链上提供执行正确性的证明。该赛道主要有StarkWare、zkSync、Scroll以及FoxTech等项目。
事实上，在zkRollup的设计中，对于效率有很着高的要求：希望提交的证明值足够的小，这样可以减轻Layer1的计算量。而为了获取足够小的证明长度，各个zkRollup项目都在改进算法以及架构设计，例如Fox就结合了最新的零知识证明算法开发了自己的证明算法FOAKS，来获得最优的证明时间和证明长度。
美国财政部正在研究如何使用数字美元来保护隐私:金色财经报道，负责金融机构的助理部长Graham Steele表示，美国财政部一直在研究如何使潜在的数字美元的零售交易尽可能保持私密和匿名，尽管他说美国还没有决定是否推进中央银行数字货币（CBDC）的发展。
然而，Steele也指出了零售业CBDC可能存在的风险，特别是运行的危险。最近的美国银行业动荡表明，\"使存款流动的技术只会越来越快，\"这增加了高速、恐慌性的资金流动的危险。斯蒂尔说，一个由财政部领导的小组正在研究建立美国中央银行数据中心的可能性，\"该小组正在评估与全球金融领导地位、国家安全、隐私、非法金融和金融包容性有关的政策目标。[2023/6/14 21:34:44]
此外，在验证证明的阶段，最平凡的手段是线性的生成证明并依次验证。为了提高效率，大家首先想到的是多个证明打包成一个证明，这也就是通常提到的证明聚合。
直观来讲，对于zkEVM生成的证明进行验证是一个线性的过程，验证者需要依次验证每一个生成的证明值。但是这种验证方式的效率比较低，通讯开销也比较大，对于zkRollup的场景，更高的验证者端的开销就意味着更多的Layer1层的计算，也就会导致更高的Gasfee。
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我们先看一个例子：Alice想要向全世界证明自己在本月的1号至7号都去了Fox公园。为此，她可以分别在1号至7号的每一天都拿着当天的报纸在公园拍一张照片，这7张照片打包就成为一个证明。
图1：一般意义的证明聚合方案
上面例子里把7张照片直接放入一个信封就是直观意义上的证明聚合，这在实际情况中对应的是将不同证明连接在一起并依次线性验证，即先验证第一个证明，再验证第二个证明以及随后的证明。问题是这种做法既不会改变证明的大小，也不会改变证明的时间，与一个一个去证明并验证的效果一样。如果要实现对数级别的空间压缩，那就要使用下面提到的递归证明。
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Halo2以及STARK所用证明递归方案
为了更好的说明什么是递归证明，我们回到上面的例子。
Alice的7张照片实际上是7个证明。现在考虑将它们合并起来，于是Alice可以在1号拍好照片，在2号拿着这张照片和2号的报纸拍照片，在3号再拿着2号拍的照片和3号的报纸拍照片。以此类推，Alice在7号拿着6号的照片和7号的报纸拍下最后一张照片，而其他小伙伴在看到7号的这最后一张照片，就可以验证在1～7号Alice都去了公园。可以看到，之前的七张证明照片，被压缩成了一张。而在这个过程中的一个关键技巧，即是“包含照片的照片”，相当于将之前的照片以递归的形式嵌套进了之后的照片当中。这跟把很多照片放一起再拍个照片是不同的。
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zkRollup的递归证明技巧可以大幅压缩证明大小。具体来讲，每一笔交易都会生成一个证明，我们设原始的交易计算电路为C0，P0为C0的正确性证明，V0为验证P0的计算过程，证明者将V0也转化为对应的电路，记作C0’。此时，对于另一笔交易的证明计算过程C1，就可以将C0’和C1的电路合并，这样一来，一旦验证了合并后的电路的正确性证明P1，就相当于同时验证了以上两笔交易的正确性，也就是实现了压缩。
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而回顾上述过程可以发现，其实压缩的原理在于将验证证明的过程又转化为了电路，然后生成“对于证明的证明”，所以从这个角度来说，是一种可以不断向下递归的操作，因此也被成为递归证明。
图2：Halo2与Stark所使用的递归证明方案
Halo2与STARK所采用的ProofRecursion方案能够并行生成证明，并将多个证明进行合并，使得验证一个证明值的同时可以验证多个交易执行的正确性，那就能够压缩计算的开销，从而极大的提高系统的效率。
然而，这样的优化仍然停留在具体的零知识证明算法之上的层次，为了进一步提高效率，我们需要更底层的优化和创新，Fox设计的FOAKS算法通过将递归的思想应用在一个证明的内部做到了这点。
FOAKS所使用的证明递归方案
FoxTech是一个zkEVM-based的zkRollup项目。在它的证明系统中，同样使用递归证明的技巧，但是内涵与上述递归方式有不同之处，主要的区别是Fox是在一个证明的内部使用了递归(Recursion)的思想。为了表达出Fox所使用的递归证明的那种不断将要证明的问题约化，直到约化后的问题足够简单的核心思想，我们需要再举一个例子。
在上面的例子，Alice通过拍照证明自己在某天去了Fox公园，于是Bob提出了不同的建议，他认为证明Alice去过公园的问题可以被约化为证明Alice的手机去过了这个公园，而证明这件事又可以被约化为证明Alice手机的定位在公园的范围里。因此，为了证明Alice去过这个公园，她只要在公园的时候用她的手机发送一个定位就行了。
如此一来证明的大小就从原本的一张相片(一个很高维的数据)变为一个3维的数据(经纬度和时间)，有效的节约了成本。这个例子并不完全恰当，因为也许有人会质疑Alice的手机到过Fox公园不代表Alice本人到过，但是在实际的情况中，这个约化过程是数学形式上严格的。
具体而言，Fox的递归证明的用法是在电路层面的递归。在进行零知识证明的时候，我们会将要证明的问题编写成电路，接着通过电路计算出一些需要满足的等式。而与其展示这些等式是满足的，我们再次将这些等式编写成电路，如此往复，直到最后要证明满足的等式变得足够简单，我们便能轻松的直接证明了。
从这个过程当中我们可以看出，这么做更贴近“递归”的含义。值得一提的是不是所有算法都可以使用这个递归技术，假设每一次递归会将复杂度为O(n)的证明变为一个O(f(n))的证明，而这个递归过程本身的计算复杂度是O(g(n))，则递归一次后总计算复杂度就变为O1(n)=O(f(n))+O(g(n))，两次后就是O2(n)=O(f(f(n)))+O(g(n))+O(g(f(n)))，三次后就是O3(n)=O(f(f(f(n))))+O(g(n))+O(g(f(n)))+O(g(f(f(n))))，...，以此类推。因此，只有在f和g两个对应算法特性的函数满足对某个k有Ok(n)<O(n)时，这样的递归技术才能有效发挥作用。在Fox当中便有效的使用了这个递归技术压缩证明复杂度。
图3：ZK-FOAKS所使用的递归证明方案
结语
证明的复杂度一向是零知识证明应用中最重要的关键之一，证明复杂度这个性质随待证明的事情越来越复杂会变得越来越重要，特别是在像zkEVM这样的巨型ZK应用场景中，证明的复杂度会对产品的性能与用户的体验造成决定性的影响。而在众多降低最终证明的复杂度的方法中，对核心算法的优化最为重要，Fox在最前沿算法的基础上设计出了精妙绝伦的递证明方案，并利用这项技术打造出最适合于zkEVM的ZK-FOAKS算法，有望成为zkRollup界的性能担当。
参考文献
https://blog.csdn.net/weixin_44383880/article/details/126338813
https://blog.csdn.net/freedomhero/article/details/126727033
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