前言
Bulletproofs，又一个有意思的零知识证明算法，相信读者已经很熟悉它了。和zk-snark相比，它不需要可信设置；和zk-stark算法相比，它具有较小的proofsize。根据论文，它有两个方面的应用：
用于rangeproof；用于一般算术电路的零知识证明。下面，让我们先看一下Bulletproofs是如何高效的实现第一点。Rangeproof
1.预备知识
aL：表示向量{a1、a2……an}
2n：表示向量{20、21…2n-1}
<a、b>:表示向量内积∑ai*bi，结果是一个值
aob：向量对应位相乘，{a1*b1……anbn}，结果是一个向量
以太坊Layer 2总锁仓量升至88亿美元，7日涨幅0.66%:金色财经报道，据L2BEAT数据显示，以太坊Layer 2总锁仓量升至88亿美元，7日涨幅0.66%。锁仓量前五分别为： Arbitrum One（58.1亿美元，7 日涨幅1%）； Optimism（17.2亿美元，7日跌幅1.24%）； dYdX（3.42亿美元，7日涨幅0.52%）； zkSync Era?（3.26亿美元，7日涨幅15.12%）； Loopring（1.09亿美元，7日跌幅1%）。[2023/5/28 9:47:17]
2.证明
Alice想要证明?v??=>则，需要证明一个relation得成立，如下所示：
{：V=?grhv?^v??}
public-xwitness-wrelation-R
加密货币Floki将在世界乒乓球锦标赛决赛获得赛场广告位:金色财经报道，加密货币Floki (FLOKI) 宣布与国际乒联 (ITTF) 建立合作伙伴关系，ITTF将于5月20日至28日在南非德班举行国际乒联世界乒乓球锦标赛决赛，Floki将在所有比赛上获得赛场广告位。（Decrypt）[2023/5/13 15:00:24]
即，对于公开信息x，Alice有隐私信息w，使得关系R成立。
令aL为金额v的在范围内的二进制形式，则aL={a1、a2……an}?{0,1}n，且满足<aL,2n?>=v。因此，证明者需要证明以下几个等式相等：
等式(1)确保了承诺V和金额v的绑定关系，等式(2)确保了v的范围，等式(3)、(4)确保了aL?元素只属于{0,1}。等式(2)/(3)/(4)总共包含了2n+1个约束，其中公式(2)1个，公式(3)(4)各n个。接下来，为了效率，我们需要把2n+1个约束转换成1个约束。
DeFi协议总锁仓量达866.8亿美元:金色财经报道，据Defi Llama数据显示，DeFi协议总锁仓量（TVL）达到866.8亿美元，24小时涨幅为-1.66%。TVL排名前五分别为AAVE（82.3亿美元）、MakerDAO（80.9亿美元）、Lido（74.9亿美元）、Curve（59.2亿美元）、Uniswap（42.2亿美元）。[2022/11/1 12:03:03]
3.2n+1个约束转换成1个约束
=>预备：从Zp?中任意选择一个数y，则b=0n是等式<b,yn>=0成立的充分条件；因为当b!=0n，等式成立的概率仅有n/p，p是有限域，远大于n。因此，如果有<b,yn>=0，那么验证者愿意相信b!=0n?。
利用这个理论，我们把等式(2)/(3)/(4)做以下转换：
美国银行CEO称该银行不急于涉足加密货币领域:5月30日消息，美国银行似乎不会在短期内大举进军加密货币领域。在世界经济论坛上，当问及美国银行(Bank of America)首席执行官Brian T. Moynihan“如果该公司不积极进军加密货币市场，是否会觉得错过了下一件大事”，Moynihan表示并没有。Moynihan解释称：“该银行受到严格监管，这阻止了对加密货币的全面投资。”此外，他强调了该银行在数字化方面取得了重大进展，并透露该银行在区块链上拥有“数百项”专利。
据悉，美国银行仅限于研究交易方面的加密货币，但它还不能管理客户的数字资产账户。 此前消息，该银行于去年7月成立了专门的加密研究团队。（雅虎财经）[2022/5/30 3:50:16]
验证者随机选取一个数y发送给证明者证明者要证明：
同理，等式(5)确保了v的范围，等式(6)(7)确保了aL?元素只属于{0,1}。此时2n+1个约束转换成3个约束，接下来，还需要做进一步的处理：
验证者随机选取一个数z发送给证明者证明者利用z对公式(5)(6)(7)进行线性组合，得到如下公式：z2**<aL、2n?>+z*<aL?-1n-aR、yn>+<aL、aR?oyn?>=z2?*v(8)
至此，我们已经把2n+1个约束转换成1个约束。下面我们对公式(8)做进一步的优化，把三个点积优化成1个点积。
4.三个点积优化成1个点积
=>令
L=aL?-z*1n
R=(aR?+z*1n)oyn?+z2?*2n
δ=(z–z2)*<1n,yn?>-z3*<1n,2n?>
5.验证：
证明者把L/R/V发送给验证者；验证者事先算好δ验证者根据L算出来aL，根据<aL,2n?>=v算出v验证者根据L、R、v、δ验证等式<L,R>=z2?*v+δ因为y，z都是验证者提供，因此如果验证者如果能验证公式(9)成立，则相信等式(5)(6)(7)成立，则相信等式(2)(3)(4)成立，则相信v满足关系v?。
但是，可以看到上述过程，泄露了v的信息，因此需要一个零知识证明协议。
6.一个零知识证明协议
由于L、R包含了v的相关信息，因此，我们需要添加两个盲因子sL、sR来隐藏aL，aR。如公式(10)(11)所示：
此时，定义公式(12)
可以看出系数t0是l(x)和r(x)常数项的乘积，即满足：
t0?=<L,R>=z2*v+δ
因此，问题由证明：
<L,R>=z2*v+δ
转化成了，在任意一点x，验证者验证多项式值l(x),r(x),t(x)满足关系：
<l(x),r(x)>=t(x)
多项式值l(x),r(x),t(x)由证明者提供，为了保证l(x)，r(x)well-formed，即：
需要校验：
=>当且仅当l/rwell-formed，等式成立
为了保证t(x)well-fromed，即：
t=t0?+t1x+t2x2
需要校验：
=>?当且仅当t和τx?welle-formed，等式成立
具体的协议流程图如下图所示：
总结
从上述流程可以看出，一次rangeproof，证明者需要发送总共**{l/r/t/τx?/μ/T1?/T2/A/S}**个元素给验证者，总共2n+3个Zp元素，4个G元素。下一篇文章将细讲，Bulletproofs如何将交互复杂度降低到对数级O(log(n))。
附录
Bulletproofs论文：https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=8418611
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